Eccentricità (matematica)

Fissati nel piano una retta ${\displaystyle r}$  (direttrice) e un punto ${\displaystyle F}$  (fuoco) esterno a ${\displaystyle r}$ , una conica di eccentricità ${\displaystyle e>0}$  è il luogo dei punti ${\displaystyle P}$  che hanno distanza dal fuoco pari a ${\displaystyle e}$  volte la loro distanza dalla direttrice:

${\displaystyle d(P,F)=e\cdot d(P,r).}$ 

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura ${\displaystyle \alpha }$  (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo ${\displaystyle \beta }$  con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

${\displaystyle e={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }},\quad 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \beta \leq {\frac {\pi }{2}}.}$ 

Per ${\displaystyle e<1}$ , ovvero ${\displaystyle \beta >\alpha }$ , si ha un'ellisse, che ha ${\displaystyle F}$  come uno dei due fuochi.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,}$ 

l'eccentricità ${\displaystyle e}$ , l'asse maggiore ${\displaystyle 2a}$ , l'asse minore ${\displaystyle 2b}$  e la distanza interfocale ${\displaystyle 2c}$  sono legati tra loro dalle formule

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2},}$ 

${\displaystyle c=ea,}$ 

${\displaystyle b^{2}=(1-e^{2})a^{2}.}$ 

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},}$ 

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$ 

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto ${\displaystyle a/b}$  tra i semiassi. In particolare per ${\displaystyle e=0}$ , ovvero ${\displaystyle a=b}$ , l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto ${\displaystyle F}$ ).

Per ${\displaystyle e=1}$ , ovvero ${\displaystyle \beta =\alpha }$  si ottiene una parabola avente fuoco ${\displaystyle F}$  e direttrice ${\displaystyle r}$ : è il luogo dei punti equidistanti da ${\displaystyle F}$  e da ${\displaystyle r}$ .

Per ${\displaystyle e>1}$ , ovvero ${\displaystyle \beta <\alpha }$ , si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è ${\displaystyle F}$ .

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,}$ 

con asintoti

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x,}$ 

l'eccentricità ${\displaystyle e}$ , la distanza tra i vertici ${\displaystyle 2a}$ , i coefficienti angolari ${\displaystyle \pm b/a}$  degli asintoti e la distanza interfocale ${\displaystyle 2c}$  sono legati tra loro dalle formule

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},\qquad b^{2}=(e^{2}-1)a^{2},\qquad c=ea.}$ 

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

${\displaystyle e={\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},\qquad e={\frac {c}{a}}.}$ 

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari ${\displaystyle \pm a/b}$  degli asintoti.

In particolare per ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ , ossia quando l'iperbole è equilatera (cioè ${\displaystyle a=b}$ ), questo è possibile solo se

${\displaystyle {\cos \alpha }={\frac {\cos \beta }{\sqrt {2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}},}$ 

ossia solo se ${\displaystyle {\alpha }\geq {\frac {\pi }{4}}}$ , geometricamente questo avviene solo quando l'angolo formato dalla sezione assiale del cono supera un angolo retto.

• Classe di equivalenza
• Cono circolare retto
• Ellisse
• Iperbole (geometria)
• Parabola (geometria)
• Sezione conica
• Similitudine (geometria)

•   Wikizionario contiene il lemma di dizionario «eccentricità»
•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'eccentricità

• (EN) eccentricity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Eccentricità, su MathWorld, Wolfram Research.