Aritmetica di Robinson

L'aritmetica di Robinson, denotata solitamente con Q in logica matematica, è una teoria del primo ordine, definita per la prima volta da Raphael M. Robinson nel 1950^[1] che ha come assiomi propri una versione ridotta degli assiomi di Peano in cui è assente il principio di induzione e c'è l'aggiunta di un assioma che afferma che ogni numero naturale diverso da zero è successore di qualche altro numero (cosa che nell'aritmetica di Peano è dimostrabile per induzione). L'interesse dell'aritmetica di Robinson per la logica risiede nel fatto che è la teoria più debole in cui è possibile rappresentare tutte le funzioni ricorsive primitive e di conseguenza è anche la teoria più debole a cui sia applicabile il primo dei teoremi di incompletezza di Gödel.

Definizione

Il linguaggio di Q è il linguaggio dell'aritmetica del primo ordine.

Gli assiomi di Q sono costituiti dagli assiomi logici, gli assiomi per l'uguaglianza e i seguenti assiomi propri:

(Q1) $\forall x\neg (S(x)=0)$

esprime il fatto che 0 non è il successore di alcun numero;

(Q2) $\forall x\forall y(S(x)=S(y)\rightarrow x=y)$

esprime il fatto che numeri diversi hanno successori diversi, cioè la funzione successore è una funzione iniettiva;

(Q3) $\forall x(\neg (x=0)\to \exists y(x=S(y)))$

esprime il fatto che ogni numero diverso da 0 è il successore di qualche altro numero;

(Q4) $\forall x(x+0=x)$
(Q5) $\forall x\forall y(x+S(y)=S(x+y))$

questa coppia di assiomi definisce ricorsivamente l'addizione;

(Q6) $\forall x(x\times 0=0)$
(Q7) $\forall x\forall y(x\times S(y)=(x\times y)+x)$

questa coppia di assiomi definisce ricorsivamente la moltiplicazione.

Incompletezza di Q

Come accennato, Q è una teoria incompleta. Questo fatto si può vedere senza bisogno di invocare i teoremi di Gödel, dal momento che esiste un semplice enunciato indecidibile in Q: che è quello che afferma la proprietà commutativa dell'addizione

\forall x\forall y(x+y=y+x).

Per mostrare che è indecidibile si costruisce un modello non standard di Q che non rispetti la proprietà commutativa dell'addizione: consideriamo ad esempio un modello composto dall'unione dell'insieme dei numeri naturali N con un insieme di due elementi "estranei" {a,b}. Definiamo la funzione "successore" per a e b come

S(a):=a

S(b):=b

è facile verificare che S rispetta gli assiomi (Q1), (Q2) e (Q3) sui successori; a questo punto, estendiamo all'insieme N∪{a,b} l'operazione +, compatibilmente con S e gli assiomi (Q4) e (Q5), ponendo:

a+n:=a per ogni n pari in N

a+n:=b per ogni n dispari in N

b+n:=b per ogni n pari in N

b+n:=a per ogni n dispari in N

n+a:=b per ogni n in N

n+b:=a per ogni n in N

a+a:=b

b+b:=a

a+b:=a

b+a:=b

si può verificare che l'operazione definita rispetta gli assiomi (Q4) e (Q5). È possibile anche estendere la moltiplicazione in N∪{a,b} in modo da verificare gli assiomi (Q6) e (Q7)^[2]: quello che è rilevante invece è che l'operazione "+" appena definita non commuta: a+b=a mentre b+a=b. Deduciamo che in Q non è possibile, partendo dagli assiomi, dimostrare la formula che afferma la proprietà commutativa della somma. D'altra parte, in Q non è possibile nemmeno dimostrare la sua negazione perché l'enunciato è vero nel modello standard dei numeri naturali. Concludiamo che l'enunciato che esprime la proprietà commutativa è indecidibile in Q.

Note

^ R. M. Robinson, An Essentially Undecidable Axiom System, in Proceedings of the International Congress of Mathematics, 1950, pp. 729-730.
^ Peter Smith, capitolo 10.5, in An Introduction to Gödel's Theorems, 2ª ed., pp. 69-70.

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[1] R. M. Robinson, An Essentially Undecidable Axiom System, in Proceedings of the International Congress of Mathematics, 1950, pp. 729-730.

[2] Peter Smith, capitolo 10.5, in An Introduction to Gödel's Theorems, 2ª ed., pp. 69-70.

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