Notasi Einstein

Notasi Einstein atau Konvensi penjumlahan Einstein adalah sebuah konvensi notasi yang biasa digunakan dalam penerapan aljabar linier dalam fisika, terutama ketika berurusan dengan rumus koordinat. Konvensi ini diperkenalkan oleh Albert Einstein pada tahun 1916.^[1]

Menurut konvensi ini, bila sebuah indeks variabel muncul dua kali dalam satu suku, sekali dalam indeks atas (superskrip) dan sekali lagi di bawah (subskrip), berarti secara tersirat kita menjumlahkan semua nilai yang mungkin. Dalam penerapan yang tipikal, indeks ini adalah 1,2,3 (mewakili ketiga dimensi ruang Euklid fisik) atau 0,1,2,3 atau 1,2,3,4 (mewakili keempat dimensi ruang-waktu, atau ruang Minkowski), namun banyaknya indeks tersebut bisa berapa saja. Pada beberapa penerapan indeks tersebut bisa merupakan anggota himpunan tak terhingga. Indeks notasi abstrak adalah peningkatan atas notasi Einstein.

Dalam Teori Relativitas Umum, huruf Yunani dan huruf Latin digunakan untuk membedakan penjumlahan terhadap 1,2,3 atau 0,1,2,3. Biasanya huruf Latin i, j, ... digunakan untuk 1, 2, 3 dan huruf Yunani ${\displaystyle \mu \,}$, ${\displaystyle \nu \,}$, ... untuk 0,1,2,3. Konvensi tanda bisa berbeda-beda.

Perlu diingat tidak ada hukum fisika atau gagasan baru yang dihasilkan dari notasi Einstein. Konvensi ini hanya membantu mengenali hubungan dan kesetangkupan yang sering tersembunyi oleh notasi konvensional.

Dalam beberapa bidang, notasi Einstein sering dirujuk sebagai notasi indeks saja. Penggunaan penjumlahan secara tersirat pada pengulangan indeks juga disebut sebagai "Konvensi penjumlahan Einstein.

Gagasan dasar notasi Einstein sangat sederhana. Notasi ini memungkinkan penggantian rumus panjang seperti:

${\displaystyle y=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+...+c_{n}x_{n}\,}$

yang biasanya diringkas menjadi:

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x_{i}}$

dengan rumus yang bahkan lebih sederhana lagi, dalam notasi Einstein

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,}$

Dalam notasi Einstein, indeks seperti i dalam persamaan di atas dapat muncul baik sebagai subskrip ataupun superskrip. Letak indeks ini punya maksud khusus. Perlu diingat untuk tidak menafsirkan indeks yang muncul pada posisi superskrip sebagai pangkat, yang merupakan konvensi baku dalam aljabar. Di sini, i dalam posisi superskrip di atas simbol x menunjukkan indeks bilangan bulat yang berjalan dari 1 ke n.

Keuntungan notasi Einstein adalah indeks yang muncul dua kali atau lebih dalam satu suku menyiratkan penjumlahan pada indeks tersebut, sehingga simbol penjumlahan (${\displaystyle \sigma }$) tidak diperlukan.