Vector unitario

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$  (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve (${\displaystyle \mathbf {\breve {r}} \,}$ ) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$  na forma ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{r}}\,}$ .

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝⁿ. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} }$  se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |=1}$ 

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ . A tal vector denomínase versor asociado ao vector ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$  e pódese representar ben sexa por ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,}$  ou por ${\displaystyle \mathbf {u} _{v}\,}$  e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,}$  é a división do vector entre o seu módulo.

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\vec {\mathbf {v} }}{|\mathbf {v} |}}}$ 

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

No espazo euclidiano, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta }$ 

Pero como:

${\displaystyle |\mathbf {\hat {u}} |=|\mathbf {\hat {v}} |=1}$ 

Entón:

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos \theta }$ 

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta }$ 

Como o módulo do vector ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$  é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} |\cos \theta }$ 

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos ${\displaystyle x,\,y,\,z\,}$  desígnanse por ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,}$ , respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector ${\displaystyle {\mathbf {v} =(1,-2,3)\,}}$  é

${\displaystyle {\mathbf {v} =\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }}$