Masse au repos

Dans tout référentiel inertiel, elle peut être calculée à partir de l'énergie totale ${\displaystyle E}$  de la particule et de sa quantité de mouvement ${\displaystyle p=\|{\vec {p}}\|}$  par la relation suivante :

${\displaystyle m_{0}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2}}$ 

où ${\displaystyle c}$  est la vitesse de la lumière.

On obtient cette relation à partir de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule :

${\displaystyle E^{2}-(p\,c)^{2}=m_{0}^{2}\,c^{4}}$ .

Si la particule est au repos, son énergie au repos ${\displaystyle E_{0}}$  vaut donc :

${\displaystyle E_{0}=m_{0}\,c^{2}}$ .

Ce concept vient de la théorie de la relativité restreinte qui a amené Albert Einstein à postuler l'équivalence entre la masse et l'énergie.

L'énergie d'une particule de masse au repos ${\displaystyle m=m_{0}}$  allant à la vitesse v est ${\displaystyle E(v)=\gamma .m_{0}.c^{2}}$  et sa masse relativiste est alors définie par ${\displaystyle m(v)={{E(v)} \over c^{2}}=\gamma .m_{0}}$ .

Ce qui permet d'utiliser eV et ses multiples comme unité de mesure de l'énergie de la particule ainsi que eV/c² pour la masse.

Le concept de masse invariante peut être généralisé pour un système de plusieurs particules. On ne considérera ici que des systèmes fermés pour des raisons de simplicité.

Dans le cas général, on a la relation suivante :

${\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}=E^{2}-\left(pc\right)^{2}}$ ,

soit :

${\displaystyle M_{0}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2}}$ 

où ${\displaystyle M_{0}}$  est la masse au repos totale du système, ${\displaystyle E}$  l'énergie totale du système et ${\displaystyle p=\left\|{\vec {p}}\right\|}$  la quantité de mouvement totale du système. On remarquera que cette formule est exactement la même que pour une particule seule, à la seule différence qu'il faut prendre les données globales du système à la place des données particulières.

Il faut néanmoins noter que cette masse invariante globale n'est pas égale à la somme des masses invariantes des particules composant le système : en plus de ces masses individuelles, il faut ajouter la masse « apparente » ${\displaystyle M_{c}}$  correspondant à l'énergie cinétique interne ${\displaystyle E_{c}}$  du système (${\displaystyle E_{c}=\sum _{i}E_{c,i}}$ , c'est-à-dire la somme des énergies cinétiques des particules dans le référentiel du centre de masse du système global ; ${\displaystyle M_{c}=\sum _{i}m_{c,i}={\frac {E_{c}}{c^{2}}}}$ ) ainsi que la masse ${\displaystyle \Delta m}$  correspondant à l'énergie d'interaction ${\displaystyle \Delta E}$  entre les particules (${\displaystyle \Delta E=\sum _{i}\Delta E_{i,j}}$ , c'est-à-dire la somme des énergies d'interaction pour chaque paire de particules du système ; ${\displaystyle \Delta m=\sum _{i}\Delta m_{i,j}={\frac {\Delta E}{c^{2}}}}$ ). Les relations entre données individuelles (${\displaystyle m_{0,i}}$  et ${\displaystyle E_{0,i}}$ , ${\displaystyle m_{c,i}}$  et ${\displaystyle E_{c,i}}$ , ${\displaystyle \Delta m_{i,j}}$  et ${\displaystyle \Delta E_{i,j}}$ ) et globales (${\displaystyle M_{0}}$  et ${\displaystyle E}$ , ${\displaystyle M_{m}}$  et ${\displaystyle E_{m}}$ , ${\displaystyle M_{c}}$  et ${\displaystyle E_{c}}$ , ${\displaystyle \Delta E}$  et ${\displaystyle \Delta m}$ ) sont donc :

${\displaystyle E=E_{m}+E_{c}+\Delta E=\left(\sum _{i}E_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}E_{c,i}\right)+\left(\sum \Delta E_{i,j}\right),}$ 

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}~~;~~p=\left\|{\vec {p}}\right\|=\left\|\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\right\|.}$ 

et surtout, ce qui nous intéresse ici :

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+M_{c}+\Delta m=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}m_{c,i}\right)+\left(\sum \Delta m_{i,j}\right),}$ 

Avec les données usuelles (les ${\displaystyle m_{0,i}}$  ou ${\displaystyle E_{0,i}}$ , les ${\displaystyle E_{c,i}}$  et les ${\displaystyle \Delta E_{i,j}}$ ), on a :

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right),}$ 

${\displaystyle M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right).}$ 

Si les interactions entre les particules sont nulles, ou si elles peuvent être négligées (c'est-à-dire que l'énergie d'interaction peut être négligée devant les énergies de masse et/ou cinétique interne), on a alors :

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+M_{c}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}m_{c,i}\right),}$ 

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right),}$ 

${\displaystyle M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right).}$ 

Dans certains cas, l'énergie cinétique peut être négligée : cette approximation est valable dans le cas où l'énergie de masse et/ou l'énergie d'interaction sont grandes devant l'énergie cinétique interne des particules. Ce cas particulier est un cas d'école : c'est une approximation théorique qui en pratique n'existe pas. On a alors :

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+\Delta m=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum \Delta m_{i,j}\right),}$ 

${\displaystyle M_{0}=M_{m}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right),}$ 

${\displaystyle M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right).}$ 

Ce cas est le cas extrême, combinaison des deux précédents, où l'énergie d'interaction et l'énergie cinétique interne sont toutes les deux négligeables devant l'énergie de masse du système. Dans ce cas, la masse propre du système global est simplement la somme des masses propres des particules composant le système :

${\displaystyle M_{0}=M_{m}=\sum _{i}m_{0,i},}$ 

${\displaystyle M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}=\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}}$ .

Dans le cas d'un système de deux particules sans masse dont les impulsions sont séparées par un angle ${\displaystyle \theta }$ , la masse invariante a pour expression simplifiée :

${\displaystyle M^{2}\,}$	${\displaystyle =(E_{1}+E_{2})^{2}-\|{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\|^{2}\,}$
	${\displaystyle =[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\,}$
	${\displaystyle =2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\,}$

De même, en physique des collisionneurs, les grandeurs telles que la pseudorapidité ${\displaystyle \eta }$  ou l'angle azimutal ${\displaystyle \phi }$ , associées à l'impulsion transverse ${\displaystyle p_{T}}$ , sont souvent utilisées comme système de coordonnées dans les détecteurs. Dans l'hypothèse de particules sans masse ou relativistes ( ${\displaystyle E>>m}$ ,) la masse invariante prend la forme :

${\displaystyle M^{2}\,}$

${\displaystyle =2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).\,}$

• [Bailly et Longo 2007] F. Bailly et G. Longo, « Causalités et symétries dans les sciences de la nature : le continu et le discret mathématiques », dans J.-B. Joinet (dir.), Logique, dynamique et cognition (actes de la rencontre Logique mathématique, informatique et philosophie, organisée en avr. 2003 à l'université Paris-I – Panthéon-Sorbonne), Paris, Éditions de la Sorbonne, coll. « Logique, langage, sciences, philosophie », sept. 2007, 1^re éd., 1 vol., 237, fig., 24 cm (ISBN 978-2-85944-584-3, EAN 9782859445843, OCLC 470567051, BNF 41181626, DOI 10.4000/books.psorbonne.291, SUDOC 118040197, présentation en ligne, lire en ligne), 1^re part., chap. 3, p. 51-97 (DOI 10.4000/books.psorbonne.301).
• [Lachièze-Rey 1987] M. Lachièze-Rey (préf. de H. Reeves), Connaissance du cosmos, Paris, A. Michel, coll. « Sciences d'aujourd'hui » (n^o 62), mai 1987 (réimpr. avr. 2010), 1^re éd., 1 vol., 231, 23 cm (ISBN 2-226-02867-6, EAN 9782226028679, OCLC 420139628, BNF 34963602, SUDOC 001306278, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).

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