Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon osajoukko. k-kombinaatio on joukon S osajoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa: kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä, esittävät samaa kombinaatiota.[1] Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on merkitystä eli eri järjestys on eri variaatio.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä[1]

,

missä

k = kombinaation jäsenten lukumäärä,
n = pääjoukon S jäsenten lukumäärä.

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja.
Erityisesti C(n, 0) = 1[1], C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1.

Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö

C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1)

eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun
summana.

Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen
summa on

k   luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa
6   1
5   1 6
4   1 5 15
3   1 4 10 20
2   1 3 6 10 15
1   1 2 3 4 5 6
  0   1 1 1 1 1 1 1
  0   1   2   3   4   5   6 n
1 2 4 8 16 32 64

Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla:

,
,
, jne.

Esimerkkejä

muokkaa

Esimerkki 1.

muokkaa
 
Luettelo eri tapauksista, kun viidestä valitaan kolme ihmistä (lukua).

C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se:

 

Esimerkki 2.

muokkaa

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein  :

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

 

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

 

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä  :

 

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

 

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. a b c Grimaldi, Ralph P.: Discrete and Combinatorial Mathematics: an Applied Introduction, s. 16. (4. painos) Addison Wesley, 1999. ISBN 0-201-19912-2 (englanniksi)

Aiheesta muualla

muokkaa