Funtzio esponentzial

${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  funtzio esponentzial erreala zenbait modu baliokidetan karakteriza daiteke. Eskuarki, potentzia-serie hauek definitzen dute^[3]:

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots }$ 

Potentzia horien konbergentzia-erradioa infinitua denez, definizio hori${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  zenbaki konplexu guztiei aplikatzen zaie.

Potentzia-multzo hori terminoz terminokako diferentziak adierazten duenez, ${\displaystyle (d/dx)(\exp x)=\exp x}$  x erreal guztientzat, ${\displaystyle \exp(x)}$ -en beste karakterizazio komun bat da ekuazio diferentzialaren ebazpen bakarra.

${\displaystyle y'(x)=y(x),}$ 

hasierako ${\displaystyle y(0)=1}$  baldintza betez.

Karakterizazio horretan oinarrituta, katearen erregelak erakusten du alderantzizko funtzioak, logaritmo naturalak, betetzen duela ${\displaystyle (d/dy)(\log _{e}y)=1/y}$  denean ${\displaystyle y>0,}$  edo ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ Erlazio horrek ${\displaystyle \exp(x)}$  funtzio esponentzial errealaren definizio ${\displaystyle y}$  ez hain arrunt batera eramaten duela ekuazioaren emaitza gisa.

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ 

Binomioaren teoremaren eta potentzia-seriearen definizioaren bidez, funtzio esponentziala ere limite gisa defini daiteke:^[7]

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$ 

Funtzio esponentziala sortzen da kopuru bat bere egungo balioarekiko proportzionala den tasa batera igotzen edo jaisten denean. Egoera horietako bat etengabeko interes konposatua da, eta, hain zuzen, behaketa horrek eraman zuen Jacob Bernoulli 1683an zenbaki honetara:^[8]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

orain e deitzen zaiona. Geroago, 1697an, Johann Bernoullik funtzio esponentzialaren kalkulua aztertu zuen. ^[9]

1 kopuru nagusi batek interesak irabazten baditu hileko x kapitalizazioko urteko tasan, hilean irabazitako interesa uneko balioa baino x/12 aldiz handiagoa izango da; beraz, hilero balio totala (1 + x/12) bider handiagoa izango da, eta urte-amaierako balioa (1 + x/12)¹² izango da. Aldiz, interesa egunero larriagotzen bada, (1 + x/365)³⁶⁵ bihurtzen da. Urte bakoitzeko denbora-tarteen kopurua mugarik gabe hazten uztea funtzio esponentzialaren mugara eramaten du.

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

lehenik, Leonhard Eulerrek emana^[7]. Funtzio esponentzialaren zenbait karakterizaziotako bat da; beste batzuek serie edo ekuazio diferentzialak dituzte.

Definizio horietako edozeinen bidez froga daiteke funtzio esponentziala oinarrizko esponentziazio-identitatearen araberakoa dela.

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$ 

eta horrek e^x notazioa justifikatzen du.

Funtzio esponentzialaren deribatua (aldaketa-tasa) funtzio esponentziala da berez. Eskuarki, funtzioaren beraren araberako aldaketa-tasa duen funtzio bat (haren berdina izan beharrean) funtzio esponentzialaren terminoetan adieraz daiteke. Funtzio-propietate horrek hazkunde esponentziala edo gainbehera esponentziala eragiten du.

Funtzio esponentziala plano konplexuko funtzio oso batera hedatzen da. Eulerren formulak bere balioak funtzio trigonometrikoak dituzten irudimenezko argudioetan lotzen ditu. Funtzio esponentzialak ere antzeko funtzioak ditu, eta argumentua matrize bat da, edo Banachen aljebrako elementu bat edo Lieren aljebra ere.

Funtzio esponentzialak matematikan eta zientzietan duen garrantzia, nagusiki, funtzio bakar gisa duen definiziotik dator. Funtzio hori bere deribatuaren berdina da, eta 1 da x = 0 denean. Hau da,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{eta}}\quad e^{0}=1.}$ 

c konstanterako ce^x formaren funtzioak dira deribatuaren (Picard-Lindelöf-en teoremaren bidez) berdinak diren funtzio bakarrak. Gauza bera esateko beste modu batzuk:

• Grafikoaren malda, edozein puntutan, funtzioak puntu horretan duen altuera da.
• x funtzioaren igoera-tasa funtzioak x-n duen balioaren berdina da.
• Funtzioak y'=y ekuazio diferentziala ebazten du.
• exp funtzional gisa deribatutako puntu finko bat da.

Aldagai baten hazkunde- edo gainditze-tasa haren tamainarekiko proportzionala bada, hala nola populazioaren hazkunde mugagabea (ikus Maltusiar hondamendia), interes konposatua etengabea edo gainbehera erradiaktiboa, aldagaia denboran zehar funtzio esponentzial gisa idatz daiteke. Esplizituki, k konstante erreal orotarako, f funtioak R -> R' betetzen du f = kf baldin bada, eta soilik baldin eta f (x) = cekx bada c konstante baterako.

Gainera, f(x) bereizgarria den edozein funtziotarako, katearen erregelaren arabera, honako hauek aurki ditzakegu:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.}$ 

e^x-erako frakzio jarraitu bat Eulerren identitate baten bidez lor daiteke:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$ 

Hurrengo frakzio jarraitu orokorrak azkarrago lortzen du konbergentzia:^[10]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$ 

edo z = x/y ordezkapena aplikatuz:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$ 

kasu berezi batekin z = 2 denean:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$ 

Formula horrek ere bat egiten du, motelago bada ere, z>2 denean. Adibidez:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$ 

Benetako kasuan bezala, funtzio esponentziala plano konplexuan zenbait forma baliokidetan defini daiteke. Funtzio esponentzial konplexuaren definizio arruntena paraleloa da argumentu errealen potentzia-seriearen definizioarekin, non aldagai erreala konplexu batek ordezkatzen baituen:

${\displaystyle \exp(z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$ 

Potentzia-serie horien bi kopia Cauchy-ren noranzkoan biderkatzean (Mertens-en teoremaren bidez onartua), ikusten da funtzio esponentzialen biderketa-propietateak baliozkoa izaten jarraitzen duela argumentu konplexu guztietarako:

${\displaystyle \exp(w+z)=\exp(w)\exp(z)}$ , ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} }$  guztietarako

Funtzio esponentzial konplexuaren definizioak, era berean, funtzio trigonometrikoak argumentu konplexuetara zabaltzen dituzten definizio egokiak ematen ditu.

Zehazki, ${\displaystyle z=it}$  seriearen definizioak hedapena eragiten duenean

${\displaystyle \exp(it)={\Big (}1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots {\Big )}+i{\Big (}t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots {\Big )}}$ 

Hedapen horretan, terminoak benetako eta irudizko zatietan berrantolatzeko, seriearen erabateko konbergentzia behar da. Aurreko adierazpenaren parte errealak eta irudimenezkoak, hurrenez hurren,${\displaystyle \cos t}$  eta ${\displaystyle \sin t}$  serieko hedapenei dagozkie.

Korrespondentzia horrek motibatu egiten ditu kosinua eta sinua, argumentu konplexu guztietarako ${\displaystyle \exp(\pm iz)}$  terminoetan, potentzia baliokideen eta seriearen arabera^[11]:

${\displaystyle \cos z:={\frac {1}{2}}{\Big [}\exp(iz)+\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} z:={\frac {1}{2i}}{\Big [}\exp(iz)-\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  guztietarako.

Horrela definitutako exp, cos eta sin funtzioek elkarganatze-erradio infinitua dute erlazio-probaren bidez, eta, beraz, funtzio osoak dira (hau da, holomorfoak ${\displaystyle \mathbb {C} }$  denean). Funtzio esponentzialaren heina ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$  da, eta sinuaren eta kosinuaren funtzio konplexuen heinak, berriz, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dira bere osotasunean, Picard-en teoremaren arabera, baieztatzen baitu konstante ez den funtzio oso baten heina hau dela: ${\displaystyle \mathbb {C} }$  edo ${\displaystyle \mathbb {C} }$  balio lakunarioa bat kenduz.

Funtzio esponentzial eta trigonometrikoetarako definizio horiek Eulerren formulara garamatzate:

${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\operatorname {sen} z}$ , ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  guztietarako

Bestela, erlazio horretan oinarritutako funtzio esponentzial konplexua defini genezake. ${\displaystyle z=x+iy}$ , non ${\displaystyle x}$  eta ${\displaystyle y}$  errealak diren, honela defini genezake haren esponentziala:

${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\operatorname {sen} y)}$ 

non exp, cos eta sin baitira, definizio-zeinuaren eskuinaldean, aldagai erreal baten funtzio gisa interpretatu behar dira, aldez aurretik beste bitarteko batzuek definitua^[12].