Espacio de Hausdorff

Se dice que dos puntos ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  de un espacio topológico ${\displaystyle X}$  cumplen la propiedad de Hausdorff si existen dos entornos ${\displaystyle U_{x}}$  de ${\displaystyle x}$  y ${\displaystyle U_{y}}$  de ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle U_{x}\cap U_{y}=\varnothing }$ .

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Hausdorff (o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es ${\displaystyle T_{2}}$ ) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.

(Obsérvese que si x = y, x e y no verifican la propiedad de Hausdorff.)

• Todo espacio de Hausdorff es también de Fréchet o T₁, y por lo tanto también es un espacio T D y también un espacio de Kolmogórov o ${\displaystyle T_{0}}$ .
• Así pues, por ser ${\displaystyle T_{1}}$ , todo conjunto unitario es cerrado (para todo punto el conjunto formado por solo ese punto {p} es un conjunto cerrado).
• En un espacio de Hausdorff, las sucesiones convergentes convergen a un único punto.^[1]​
• Los subespacios de un T₂ son T₂ (se hereda).^[2]​
• Los espacios cocientes de espacios Hausdorff pueden ser no Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico puede construirse como el cociente de espacios de Hausdorff.^[3]​
• Todo espacio métrico es de Hausdorff.^[1]​
• En un espacio de Hausdorff, los puntos distintos son topológicamente distinguibles.^[4]​

1. Todo Espacio Métrico ${\displaystyle (X,d)}$  es Hausdorff. Demostración: Para que sea Hausdorff basta con probar que para todos los puntos x e y (${\displaystyle x\neq y}$ ) existen 2 abiertos ${\displaystyle G_{x}}$ , ${\displaystyle G_{y}}$  (${\displaystyle x\in G_{x},y\in G_{y}}$ ) disjuntos (es decir ${\displaystyle G_{x}\cap G_{y}=\emptyset }$ ). Esto es trivial pues los espacios métricos están dotados de una distancia (por definición) y podemos elegir abiertos tales que si ${\displaystyle x,y\in X,}$  con ${\displaystyle d(x,y)=\epsilon \Rightarrow G_{x}=B(x,r)\land G_{y}=B(y,r)}$  donde ${\displaystyle r=\epsilon /2}$ , luego existen esos abiertos ${\displaystyle G_{x}}$ ,${\displaystyle G_{y}}$  y claramente ${\displaystyle G_{x}\cap G_{y}=\emptyset }$ .
2. El conjunto de los números Reales con la topología usual ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau _{usual})}$ . La demostración es igual a la anterior pues se da que la topología usual sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$  es la topología inducida por la distancia usual, ${\displaystyle \tau _{d_{usual}}=\tau _{usual}}$ .
3. Cualquier conjunto no vacío con la topología trivial ${\displaystyle (X,\tau _{trivial})}$  donde ${\displaystyle \tau _{trivial}=\{\emptyset ,X\}}$  no es de Haussdorf, pues cualquier abierto que contenga al punto ${\displaystyle x}$  ha de ser el total, que contendrá a ${\displaystyle y}$  lo que hace imposible separarlos en abiertos disjuntos.
4. Un conjunto X con la topología discreta ${\displaystyle (X,\tau _{discreta})}$ . Demostración: Basta con aplicar la definición de topología discreta, sabemos que en ${\displaystyle \tau _{discreta}}$  todo elemento ${\displaystyle \{x\}}$  con ${\displaystyle x\in X}$  es un conjunto abierto, luego se da que es totalmente disconexa, veamos si cumple Hausdorff: ¿Para todo par de puntos x,y ${\displaystyle x\neq y}$  existen dos abiertos ${\displaystyle x\in G_{x},y\in G_{y}}$  disjuntos? Sí pues todo elemento ${\displaystyle x\in X}$  es abierto. Fin de la demostración.
5. Un conjunto no numerable ${\displaystyle X}$  con la topología conumerable ${\displaystyle (X,\tau _{conumerable})}$  no es Hausdorff. La topología conumerable es la siguiente: ${\displaystyle \tau _{conumerable}=\{G\subseteq X:G^{c}\,numerable\,(o\,finito)\}\cup \{\emptyset \}}$ . Para que dicho espacio fuese Hausdorff tendríamos que ver que todo par de puntos ${\displaystyle x,y}$  ${\displaystyle x\neq y}$  poseen dos abiertos ${\displaystyle x\in G_{x},y\in G_{y}}$  disjuntos. No es posible que sean disjuntos, ya que si la intersección fuese vacía, ${\displaystyle G_{x}\cap G_{y}=\emptyset \rightarrow {\overline {G_{x}\cap G_{y}}}=X\rightarrow {\overline {G_{x}}}\cup {\overline {G_{y}}}=X}$ . Esto es imposible, pues ${\displaystyle {\overline {G_{x}}}}$  y ${\displaystyle {\overline {G_{y}}}}$  son conjuntos numerables (por ser ${\displaystyle G_{x}}$  y ${\displaystyle G_{y}}$  abiertos de la topología) y su unión también es numerable, pero ${\displaystyle X}$  es no numerable, lo que contradice que los abiertos puedan ser disjuntos y por tanto convirtiendo a ${\displaystyle (X,\tau _{conumerable})}$  en un espacio que no es de Hausdorff.

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Fréchet (T₁)
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal
• Topología usual

• Arkhangelskii, A.V., L.S. Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio de Hausdorff», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .