Résumé
Soit r un entier ≥ 1 et D un corps gauche localement compact de caractéristique non nulle. Posons G = GL r (D) et notons St G la représentation de Steinberg de G. Soit π une représentation lisse irréductible de G qui est essentiellement de carré intégrable. Nous montrons que le caractère de π, sur les éléments elliptiques réguliers assez proches de 1, vaut (−1)r-1 d(π)/d(St G ) où d(π) et d(St G ) désignent les degrés formels de π et St G .
Let r be a positive integer and D a locally compact division ring of positive characteristic. Put G = GL r (D) and let St G be the Steinberg representation of G. Let π be an irreducible, smooth representation of G which is essentially square-integrable. We show that the character of π, on elliptic regular elements of G sufficiently close to 1, takes the constant value (−1)r-1 d(π)/d(St G ), where d(π) and d(St G ) are the formal degrees of π and St G .
References
Arthur J.G.: On elliptic tempered characters. Acta Math. 171, 73–138 (1993)
Badulescu A.I.: Orthogonalité des caractères pour GL n sur un corps local de caractéristique non nulle. Manuscripta Math. 101, 49–70 (2000)
Badulescu A.I.: Correspondance de Jacquet-Langlands en caractéristique non nulle. Ann. Scient. École Norm. Sup. (4) 35, 695–747 (2002)
Badulescu A.I.: Un résultat de transfert et un résultat d’intégrabilité locale des caractères en caractéristique non nulle. J. reine angew. Math. 565, 101–124 (2003)
Bernstein J.-N.: On the support of the Plancherel measure. J. Geom. Phys. 5, 663–710 (1988)
Bushnell, C.J., Henniart, G.: The local Langlands Conjecture for GL(2). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 335. Springer, Berlin (2006)
Bushnell, C.J., Henniart, G.: The essentially tame Jacquet-Langlands correspondence for inner forms of GL(n). Pure Appl. Math. Q. (à paraître)
Bushnell, C.J., Henniart, G., Kutzko, P.C.: Types and explicit Plancherel formulae for reductive p-adic groups. Clay Math. Inst. Proc. (à paraître)
Collingwood D.H., McGovern W.M.: Nilpotent Orbits in Semisimple Lie Algebras: An Introduction. Van Nostrand Reinholt, New York (1993)
Deligne, P., Kazhdan, D., Vignéras, M.-F.: Représentations des algèbres centrales simples p-adiques. Représentations des groupes réductifs sur un corps local. Hermann, Paris (1984)
Dixmier J.: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthiers-Villars, Paris (1969)
Henniart, G.: La conjecture locale de Langlands pour GL(3). Mém. Soc. Math. France, nouvelle série 11/12 (1984)
Howe R.E.: The Fourier transform and germs of characters. Math. Ann. 208, 305–322 (1974)
Laumon G.: Cohomology with Compact Support of Drinfeld Modular Varieties. Cambridge University Press, Cambridge (1996)
Montgomery D., Zippin L.: Topological Transformation Groups. Wiley, New York (1955)
Rogawski J.: Representations of GL(n) and division algebras over a local field. Duke Math. J. 50, 161–196 (1983)
Shalika J.: A theorem on semi-simple p-adic groups. Ann. Math. 95, 226–242 (1972)
Springer, T.A., Steinberg, R.: Conjugacy classes. Seminar on algebraic groups and related finite groups. In: Borel, A., et al. (eds.) Lecture Notes in Mathematics, vol. 131, pp. 167–266. Springer (1970)
Vignéras, M.-F.: Caractérisation des intégrales orbitales sur un groupe r��ductif p-adique. J. Fac. Sci. U. Tokyo 28(3 sec. 14), 945–961 (1982)
Wallach N.: Real Reductive Groups, II. Academic Press, New York (1992)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Additional information
Le premier auteur voudrait remercier l’Université de Paris-Sud pour son hospitalité au cours de la préparation de cet article. Le deuxième auteur voudrait remercier A.I. Badulescu, S. DeBacker et J.-L. Waldspurger pour des échanges de courriels très instructifs.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Bushnell, C.J., Henniart, G. & Lemaire, B. Caractère et degré formel pour les formes intérieures de GL(n) sur un corps local de caractéristique non nulle. manuscripta math. 131, 11–24 (2010). https://doi.org/10.1007/s00229-009-0309-9
Received:
Revised:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00229-009-0309-9