Résumé
Le class-invariant homomorphism permet de mesurer la structure galoisienne des torseurs—sous un schéma en groupes fini et plat G—qui sont dans l’image du cobord associé à une isogénie, de noyau G, entre des (modèles de Néron de) variétés abéliennes. Quand les variétés sont des courbes elliptiques à réduction semi-stable et que l’ordre de G est premier à 6, on sait que cet homomorphisme s’annule sur les points de torsion. Dans cet article, en nous servant de restrictions de Weil de courbes elliptiques, nous construisons, pour tout nombre premier p > 2, une variété abélienne A de dimension p munie d’une isogénie (de noyau μ p ) dont le cobord est surjectif. Si A est de rang nul, et si la p-partie du groupe de Picard de la base est non triviale, nous obtenons ainsi un exemple où le class-invariant homomorphism ne s’annule pas sur les points de torsion.
Abstract
The so-called class-invariant homomorphism ψ measures the Galois module structure of torsors—under a finite flat group scheme G—which lie in the image of a coboundary map associated to an isogeny between (Néron models of) abelian varieties with kernel G. When the varieties are elliptic curves with semi-stable reduction and the order of G is coprime to 6, it is known that the homomorphism ψ vanishes on torsion points. In this paper, using Weil restrictions of elliptic curves, we give the construction, for any prime number p > 2, of an abelian variety A of dimension p endowed with an isogeny (with kernel μ p ) whose coboundary map is surjective. In the case when A has rank zero and the p-part of the Picard group of the base is non-trivial, we obtain examples where ψ does not vanish on torsion points.
References
Agboola A. (1994). A geometric description of the class invariant homomorphism. J. Théor. Nombres Bordeaux 6: 273–280
Agboola A. (1996). Torsion points on elliptic curves and Galois module structure. Invent. Math. 123: 105–122
Agboola A. and Pappas G. (2000). Lines bundles, rational points and ideal classes. Math. Res. Lett. 7: 1–9
Anantharaman S. (1973). Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1. Bull. Soc. Math. France Suppl. Mém. 33: 5–79
Berthelot, P., Breen, L., Messing, W.: Théorie de Dieudonné cristalline II. Lect. Notes Math. 930. Springer, Heidelberg (1982)
Bley W. and Klebel M. (1998). An infinite family of elliptic curves and Galois module structure. Pacific J. Math. 185: 221–235
Bosch, S., Lütkebohmert, W., Raynaud, M. : Néron Models. Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), vol. 21. Springer, Heidelberg (1990)
Cassou-Noguès Ph. and Jehanne A. (2001). Espaces homogènes principaux et points de 2-division de courbes elliptiques. J. London Math. Soc. 63(2): 257–287
Cremona J. (1992). Algorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press, Cambridge
Edixhoven B. (1992). Néron models and tame ramification. Compost. Math. 81(3): 91–306
Fontaine J.-M. (1985). Il n’y a pas de variété abélienne sur Z. Invent. Math. 81(3): 515–538
Gillibert J. (2005). Invariants de classes: le cas semi-stable. Compost. Math. 141: 887–901
Gillibert J. (2006). Variétés abéliennes et invariants arithmétiques. Ann. Inst. Fourier 56(fasc. 2): 277–297
Gillibert, J. : Invariants de classes : propriétés fonctorielles et applications à l’étude du noyau. Preprint, http ://arxiv.org/abs/math. NT/0512365
Grothendieck, A., Dieudonné, J. : Éléments de géométrie algébrique, chapitre II : Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., vol. 8 (1961)
Grothendieck, A., Dieudonné, J. : Éléments de géométrie algébrique, chapitre III : Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., vol. 11 (1961)
Grothendieck, A. : Groupes de monodromie en géométrie algébrique. Lect. Notes Math., vol. 288. Springer, Heidelberg (1972)
Kamienny S. (1990). Torsion points on elliptic curves. Bull. Am. Math. Soc. 23(2): 371–373
Pappas G. (1998). On torsion line bundles and torsion points on abelian varieties. Duke Math. J. 91: 215–224
Pappas G. (1998). Galois modules and the theorem of the cube. Invent. Math. 133: 193–225
Pappas, G.: Galois modules, ideal class groups and cubic structures. Preprint (2003)
Srivastav A. and Taylor M.J. (1990). Elliptic curves with complex multiplication and Galois module structure. Invent. Math. 99: 165–184
Taylor M.J. (1988). Mordell-Weil groups and the Galois module structure of rings of integers. Illinois J. Math. 32: 428–452
Waterhouse W.C. (1971). Principal homogeneous spaces and group scheme extensions. Trans. Am. Math. Soc. 153: 181–189
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Gillibert, J. Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure. Math. Ann. 338, 475–495 (2007). https://doi.org/10.1007/s00208-007-0084-4
Received:
Revised:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0084-4