Zusammenfassung
Wenn ein irreversibler Prozess durch die «Geschwindigkeiten»\(\dot \chi _k \) und die «Kräfte»X i (und somit durch die Dissipationsleistung\(X_k \dot \chi _k \)) charakterisiert ist und wenn das phänomenologische Gesetz\(X_i = f_i (\dot \chi _k )\) dieses Prozesses linear, das heisst von der Form\(X_i = a_{ik} \dot \chi _k \) ist, dann etabliert die Onsagersche Theorie die Symmetriea ki =a ik der Matrix (a ik ). Das phänomenologische Gesetz kann daher in der Form
geschrieben werden.
Diese Arbeit stellt einen Versuch dar,Onsagers Theorie für nichtlineare phänomenologische Gesetze zu verallgemeinern. Es stellt sich heraus, dass ein solches Gesetz von der Form
sein muss und dass sich (2) im speziellen, aber praktisch wichtigen Falle, dass die Vektoren\(\dot \chi _k \) undX i ihre Richtungen gegenseitig unabhängig von den Beträgen bestimmen, auf (1) reduziert.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist die nichtlineare Rheologie. Wenn etwa ein ideal-plastischer Körper als Grenzfall eines nichtlinearen Newton-Körpers aufgefasst wird, dann folgt die Konvexität der Fliessfläche und v.Mises' Theorie des plastischen Potentials aus dem rheologischen Gesetz (1).
References
M. A. Biot,Thermoelasticity and Irreversible Thermodynamics, J. appl. Phys.27, 240 (1956).
A. P. Green,The Plastic Yielding of Notched Bars Due to Bending, Quart. J. Mech. appl. Math.6, 223 (1953).
W. Prager,Probleme der Plastizitätstheorie, (Basel 1955).
M. A. Biot,Theory of Stress-Strain Relations in Anisotropic Viscoelasticity and Relaxation, J. appl. Phys.25, 1385 (1954);Variational Principles in Irreversible Thermodynamics with Application to Viscoelasticity, Phys. Rev.97, 1463 (1955);Variational and Lagrangian Methods in Viscoelasticity, IUTAM Colloquium Madrid (1955);Deformation and Flow of Solids (Berlin 1956), p. 251.
L. Onsager,Reciprocal Relations in Irreversible Processes, Phys. Rev.37 (II), 405 (1931) and38 (II), 2265 (1931).
H. B. G. Casimir,On Onsager's Principle of Microscopic Reversibility, Rev. modern Phys.17, 343 (1945).
H. Ziegler,Thermodynamik und rheologische Probleme, Ing.-Arch.25, 58 (1957).
R. v. Mises,Mechanik der plastischen Formänderung von Kristallen, Z. angew. Math. Mech.8, 161 (1928).
J. W. Gibbs,The Collected Works, volume 2 (New Haven, 1948), p. 4.
H. Ziegler,On the Concept of Elastic Stability, Adv. appl. Mech.4, 370 (1956).
R. Courant,Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, volume 2, (Berlin 1955), p. 96.
R. Courant andD. Hilbert,Methoden der Mathematischen Physik, volume 2 (Berlin 1937), p. 26.
F. Engesser,Über statisch unbestimmte Träger bei beliebigem Formänderungs-Gesetze und über den Satz von der kleinsten Ergänzungsarbeit, Z. Arch. Ing.-Ver. Hannover35, 733 (1889).
W. Prager,Recent Developments in the Mathematical Theory of Plasticity, J. appl. Phys.20, 235 (1948).
D. C. Drucker,Some Implications of Work Hardening and Ideal Plasticity, Quart. appl. Math.8, 411 (1950).
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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Ordnance Research, Department of the Army, under Contract No. DA-19-020-3487.
ETH, 1956/57 Brown University, Providence, R.I., USA.
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Ziegler, H. An attempt to generalize Onsager's principle, and its significance for rheological problems. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 9, 748–763 (1958). https://doi.org/10.1007/BF02424793
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