Zusammenfassung
Als ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung stationärer zufälliger Ma\e auf einer lokalkompakten Ahelsehen Gruppe G wird in Abschnitt 2 der vorliegenden Arbeit das Palmsche Ma\ eines stationären zufälligen Ma\es eingeführt. Dieser Begriff wurde durch eine sinngemä\e Verallgemeinerung des Palmschen Ma\es einer stationären zufälligen Punktfolge auf der reellen Achse gewonnen ([6], [11], [13], [14]). Die in Abschnitt 2 entwickelte Theorie ist insbesondere auf den Spezialfall der stationären zufälligen Punktfolgen auf dem R n anwendbar (G = R n. Mit Wahrscheinlichkeit l kommen nur ganzzahlige Ma\e auf G vor).
In Abschnitt 5 wird eine spezielle Klasse zufälliger Ma\e auf G untersucht. Zu ihrer Konstruktion benötigt man den Begriff des Poissonschen Prozesses mit vorgegebener Intensitätsverteilung auf einem beliebigen me\baren Raum, der in Abschnitt 3 eingeführt wird (vgl. [12]).
Aus der Konstruktion der zufälligen Ma\e, die in Abschnitt 5 untersucht werden, ist sofort zu ersehen, da\ sie unbegrenzt teilbar sind. Auf die Möglichkeit, die unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e in dieser Weise darzustellen, wurde bereits in der Dissertation [7] hingewiesen. In Abschnitt 6 wird der Nachweis geführt, da\ die Klasse der in Abschnitt 5 betrachteten zufälligen Ma\e bereits alle stationären unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e umfa\t.
Die stationären Poissonschen Prozesse auf G als spezielle unbegrenzt teilbare stationäre zufällige Ma\e werden, da sie ein besonderes Interesse verdienen, bereits in Abschnitt 4 behandelt.
Mit Hilfe des Palmschen Ma\es kann eine interessante Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren stationären zufälligen Ma\e auf G gegeben werden (s. Satz 6.1), die das eigentliche Anliegen der Arbeit bildet. Im Spezialfall der zufälligen Punktfolgen ohne Mehrfachpunkte auf der reellen Achse wurde der entsprechende Satz schon von kerstan und matthes [6] als Verallgemeinerung eines Satzes von sliwnjak für stationäre Poissonsche Punktfolgen auf der reellen Achse gewonnen (Satz 4.1 für G = R 1). Unabhängig davon hat sich ambarzumjan [1] mit dem entsprechenden Problem für zufällige Punktfolgen auf dem R n beschäftigt.
Satz 3.1 kann als Verallgemeinerung des ursprünglichen Satzes von sliwnjak in anderer Hinsicht aufgefa\t werden, und zwar in Richtung des übergangs von der reellen Achse zu einem beliebigen me\baren Raum (wo von Stationarität zufälliger Punktfolgen keine Rede mehr ist).
Die Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e mit Hilfe des Laplaceschen Punktionals (Formel (5.5) mit (5.1)) findet sich bereits bei lee in [7] (auf allgemeineren Räumen als G), im Spezialfall zufälliger endlicher Ma\e auf R 1 auch bei jiŘina [4].
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Literatur
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Mecke, J. Stationäre zufällige Maße auf lokalkompakten Abelschen Gruppen. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete 9, 36–58 (1967). https://doi.org/10.1007/BF00535466
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