Schatten-Klasse

Ist ${\displaystyle T\colon H\rightarrow G}$  ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n}}$  nicht-negativer reeller Zahlen mit ${\displaystyle s_{n}\rightarrow 0}$  und orthonormale Folgen ${\displaystyle \left(e_{n}\right)_{n}}$  in ${\displaystyle H}$  und ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$  in ${\displaystyle G}$ , sodass

• ${\displaystyle \textstyle Tx=\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}}$  für alle ${\displaystyle x\in H}$  gilt und
• die Operatoren ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{N}s_{n}\langle \cdot ,e_{n}\rangle f_{n}}$  für ${\displaystyle N\to \infty }$  in der Operatornorm gegen ${\displaystyle T}$  konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n}}$  ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch ${\displaystyle T}$  bestimmt. Man schreibt daher ${\displaystyle s_{n}(T)}$  für das ${\displaystyle n}$ -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den ${\displaystyle n}$ -ten singulären Wert von ${\displaystyle T}$ . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators ${\displaystyle T^{*}T\in L(H)}$  bilden.

Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$  ist die ${\displaystyle p}$ -te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von ${\displaystyle H}$  nach ${\displaystyle G}$  durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H,G)\,:=\,\{T\colon H\rightarrow G\,\mid \,T\,{\rm {kompakt}},\,\left(s_{n}(T)\right)_{n}\in \ell ^{p}\}}$ 

definiert. Dabei ist ${\displaystyle \ell ^{p}}$  der Folgenraum der zur ${\displaystyle p}$ -ten Potenz summierbaren Folgen. Für ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H,G)}$  definiert man die ${\displaystyle p}$ -Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

${\displaystyle \|T\|_{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}(T)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$ 

Die ${\displaystyle p}$ -Norm des Operators ist also genau die ${\displaystyle \ell ^{p}}$ -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall ${\displaystyle G=H}$  schreibt man abkürzend ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H):={\mathcal {S}}_{p}(H,H)}$ . Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Für ${\displaystyle p=1}$  entspricht der Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H,G)}$  der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für ${\displaystyle p=2}$  entspricht ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}(H,G)}$  dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

• Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den ${\displaystyle \ell ^{p}}$ -Räumen gemeinsam. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  ist mit der ${\displaystyle p}$ -Norm ein Banachraum. Für ${\displaystyle p\leq q}$  gilt ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\geq \|\cdot \|_{q}}$  und daher ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)\subset {\mathcal {S}}_{q}(H)}$ . Ferner gilt stets ${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{p}}$ , wobei ${\displaystyle \|T\|}$  die Operator-Norm von ${\displaystyle T}$  ist.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  und ${\displaystyle A,B\in L(H)}$  stetige lineare Operatoren auf ${\displaystyle H}$ , so ist ${\displaystyle ATB\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  und es gilt ${\displaystyle \|ATB\|_{p}\leq \|A\|\|T\|_{p}\|B\|}$ . Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in ${\displaystyle L(H)}$ .

• Seien ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$  mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$  konjugierte Zahlen. Gilt dann ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  und ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)}$ , so ist das Produkt ${\displaystyle TS}$  ein Spurklasse-Operator und es gilt ${\displaystyle \operatorname {Sp} (TS)\leq \|T\|_{p}\|S\|_{q}}$ . Jedes ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)}$  definiert daher durch ${\displaystyle T\mapsto \operatorname {Sp} (TS)}$  ein stetiges lineares Funktional ${\displaystyle \psi _{S}}$  auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ . Man kann zeigen, dass die Abbildung ${\displaystyle S\mapsto \psi _{S}}$  ein isometrischer Isomorphismus von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{q}(H)}$  auf den Dualraum von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$  ist, oder kurz ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)\,'\cong {\mathcal {S}}_{q}(H)}$ . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für ${\displaystyle 1<p<\infty }$  reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H)}$  nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H)}$  sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln^[1] sowie Entropiezahlen^[2] oder auch s-Zahlen^[3][4] für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall ${\displaystyle p>3}$  die berühmte Variance Conjecture bewiesen.^[5]

• R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
• N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

1. ↑ Z. Kabluchko, J. Prochno, C. Thäle: Exact asymptotic volume and volume ratio of Schatten unit balls
2. ↑ A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Entropy numbers of embeddings of Schatten classes
3. ↑ A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Gelfand numbers of embeddings of Schatten classes
4. ↑ J. Prochno, M. Strzelecki: Approximation, Gelfand, and Kolmogorov numbers of Schatten class embeddings
5. ↑ B. Dadoun, M. Fradelizi, O. Guédon, P.-A. Zitt: Asymptotics of the Inertia Moments and the Variance Conjecture in Schatten Balls