Rhif dychmygol

Mae rhif dychmygol yn rhif cymhlyg y gellir ei sgwennu fel rhif real, a'i luosi gyda'r uned ddychmygol i,^[1] a gaiff ei ddiffinio gan ei nodwedd i² = −1.^[2] Sgwâr (pwer 2) unrhyw rif dychmygol bi yw −b². Er enghraifft, mae 5i yn rhif dychmygol, a'i sgwâr yw −25. Caif sero ei gyfri'n real ac yn ddychmygol.^[3]

Bathwyd y term yn y 17g, gydag ystyr eang iawn, e.e. am berson gwamal, da i ddim, ond nid oedd yn cyfeirio at y nodwedd fathemategol tan ddyddiau Leonhard Euler (1707 – 1783) a Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).

Gellir ychwanegu rhif dychmygol bi at rhif real a i ffurffio rhif cymhlyg a + bi, lle mae'r rhifau real a a b yn cael eu galw'n "rhan real" a "rhan ddychmygol" y rhif cymhlyg.^[4] Mae'r ddwy ran yn cael eu diffinio fel rhifau real. Defnyddir hefyd y term "rhif dychmygol pur".^[5]

${\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}$

neu:

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$

Sylwer ar y twyll! Mae'n digwydd pan nad yw'r hafaledd ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ yn dal, pan fo cyfyngiad y newidynnau ddim yn addas. Yn yr achos yma, nid yw'r hafaledd yn dal, gan fod y rhifau, ill dau, yn negatif.

Gellir dangos hyn fel:

${\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}$

lle mae x a y yn rhifau real nad ydynt yn negatif.