Normala

Ako imamo dvije normalne prave ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  i uglove koje one čine α₁; α₂; α₃ i α₄,. U simetriji s_b preslikava ugao α₁ na α₄, ugao α₂; na α₃. Iz ovog zaključujemo da je α₁ = α₄ i α₂ = α₃.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X₀, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su ${\displaystyle p}$  i ${\displaystyle q}$  dvije mimoilazne prave. Odaberimo jednu tačku ${\displaystyle A}$  na pravoj ${\displaystyle p}$ . Kroz tu tačku prolazi tačno jedna prava paralelna s pravom ${\displaystyle q}$  (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa ${\displaystyle q_{1}}$ .

Kažemo da su prave ${\displaystyle p}$  i ${\displaystyle q}$  su norrmalne ako su prave ${\displaystyle p}$  i ${\displaystyle q_{1}}$  normalne.Pišemo ${\displaystyle p\perp q}$ .

Kažemo da je prava ${\displaystyle p}$  normalna na ravan ${\displaystyle \alpha }$  ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku ${\displaystyle T}$  i datu ravan ${\displaystyle \pi }$  postoji jedinstvena prava kroz ${\displaystyle T}$  koja je normalna na ravan ${\displaystyle \pi }$ 

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke ${\displaystyle T}$  na ravan ${\displaystyle \pi }$  je probodište ravni ${\displaystyle \pi }$  i prave ${\displaystyle q}$  koja prolazi kroz ${\displaystyle T}$  i normalna je na ${\displaystyle \pi }$ .

Ako je ortogonalna projekcija ${\displaystyle p'}$  prave ${\displaystyle p}$  na ravan ${\displaystyle \pi }$  normalna na neku pravu ${\displaystyle q}$  te ravni, onda je i prava ${\displaystyle p}$  normalna na ${\displaystyle q}$ .

Vrijedi i obratno

Ako je prava ${\displaystyle p}$  normalna na ${\displaystyle q}$ , onda je ${\displaystyle p'}$  normalna na ${\displaystyle q}$ .

Vektor normale na površ u tački ${\displaystyle T}$  je vektor normalan na tangentnu ravan površi u tački ${\displaystyle T}$ . U slučaju ravne površi, očito je to vektor normalan na samu tu ravan, i dat je vektorskim proizvodom bilo kojih dvaju vektora koji leže u ravni. Ravan može imati normalu u dva smjera.

Normala na opštu površ, parametriziranu sistemom krivolinijskih koordinata ${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)}$ , gdje su ${\displaystyle s}$  i ${\displaystyle t}$  realne promjenljive, data je vektorskim proizvodom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.}$ 

Normala na opštu površ, zadatu implicitno jednačinom

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$ 

u toački ${\displaystyle T=(x,y,z)}$  data je gradijentom:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z).}$ 

Ako određena površ u nekoj tački nema definisanu tangentnu ravan, onda tu nema definisanu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definisanu normalu na spoju omotača i baze, kupa nema normale u vrhu, u dvije dimenzije, funkcija ${\displaystyle f(x)=|x|}$  nema definisanu normalu u koordinantnom početku.

Već smo kod normale na krivu mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer. Vektor normale na pravu već ima dva moguća smjera. Za orjentisanu površ, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.

Tangenta i normala

Stereometrija^{[mrtav link]}